バイバインの恐ろしさ：指数関数的増殖の脅威

式

1. 基本条件の定義
分裂周期を $t_{split}$ とする: $t_{split} = 5 \text{ min}$
分裂回数を $n$ とすると、経過時間 $T$ は: $T = n \times t_{split}$
$n$ 回分裂後の直方体の総数 $N_{count}(n)$ は: $N_{count}(n) = 2^n$

2. 対象物のパラメータ定義
直方体の各辺の長さ: $l=6\text{cm}, w=4\text{cm}, h=3\text{cm}$
メートル単位に換算: $l=0.06\text{m}, w=0.04\text{m}, h=0.03\text{m}$
直方体1個の底面積 $A_{cuboid}$ を計算する: $A_{cuboid} = l \times w = 0.06\text{m} \times 0.04\text{m} = 0.0024 \text{ m}^2$

3. 目標条件の定義
地球の総表面積 $A_{earth}$ は: $A_{earth} \approx 510,065,600 \text{ km}^2$
平方メートル単位に換算する ($1\text{km} = 1000\text{m}$ なので、$1\text{km}^2 = (1000\text{m})^2 = 10^6\text{m}^2$):
$A_{earth} = 5.100656 \times 10^8 \text{ km}^2 = 5.100656 \times 10^8 \times 10^6 \text{m}^2 = 5.100656 \times 10^{14} \text{ m}^2$

4. 必要個数の計算
地球表面を一層覆うのに必要な直方体の個数 $N_{needed}$ を計算する:

$$ N_{needed} = \frac{A_{earth}}{A_{cuboid}} = \frac{5.100656 \times 10^{14} \text{ m}^2}{0.0024 \text{ m}^2} = 212,527,333,333,333,333.33... \approx 2.12527 \times 10^{17} \text{個} $$

5. 必要分裂回数の計算
$N_{count}(n) \ge N_{needed}$ となる最小の整数 $n$ を求める。 $$ 2^n \ge 2.12527 \times 10^{17} $$ 両辺の常用対数（$\log_{10}$）をとる。 $$ \log_{10}(2^n) \ge \log_{10}(2.12527 \times 10^{17}) $$ 対数の性質 $\log(a^b) = b \log(a)$ と $\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ を用いて変形する。 $$ n \log_{10}(2) \ge \log_{10}(2.12527) + \log_{10}(10^{17}) $$ $$ n \log_{10}(2) \ge \log_{10}(2.12527) + 17 $$ 対数の近似値 $\log_{10}(2) \approx 0.30103$ と $\log_{10}(2.12527) \approx 0.32741$ を代入する。 $$ n \times 0.30103 \ge 0.32741 + 17 $$ $$ n \times 0.30103 \ge 17.32741 $$ $n$ について解く。 $$ n \ge \frac{17.32741}{0.30103} \approx 57.560... $$ これを満たす最小の整数は $n=58$回。

6. 所要時間の計算

$$ T = n \times t_{split} = 58 \times 5 \text{ min} = 290 \text{ min} $$ $$ 290 \text{ min} = 4 \text{時間} 50 \text{分} $$

答え

約 4時間50分 で地球の表面は直方体で一層埋め尽くされます。

式

1. 対象物のパラメータ定義
直方体1個の体積 $V_{cuboid} = l \times w \times h = 0.06\text{m} \times 0.04\text{m} \times 0.03\text{m} = 0.000072 \text{ m}^3 = 7.2 \times 10^{-5} \text{ m}^3$

2. 目標条件の定義
観測可能な宇宙の体積 $V_{universe} \approx 4 \times 10^{80} \text{ m}^3$

3. 必要個数の計算
宇宙を埋め尽くすのに必要な直方体の個数 $N_{needed}$ を計算する:

$$ N_{needed} = \frac{V_{universe}}{V_{cuboid}} = \frac{4 \times 10^{80} \text{ m}^3}{7.2 \times 10^{-5} \text{ m}^3} = \frac{4}{7.2} \times 10^{85} \approx 0.555... \times 10^{85} = 5.555... \times 10^{84} \text{個} $$

4. 必要分裂回数の計算
$2^n \ge 5.555... \times 10^{84}$ となる最小の整数 $n$ を求める。 $$ n \log_{10}(2) \ge \log_{10}(5.555... \times 10^{84}) = \log_{10}(5.555...) + 84 $$ 対数の近似値 $\log_{10}(2) \approx 0.30103$ と $\log_{10}(5.555...) \approx 0.74472$ を代入する。 $$ n \times 0.30103 \ge 0.74472 + 84 = 84.74472 $$ $$ n \ge \frac{84.74472}{0.30103} \approx 281.52... $$ これを満たす最小の整数は $n=282$回。

5. 所要時間の計算

$$ T = n \times t_{split} = 282 \times 5 \text{ min} = 1410 \text{ min} $$ $$ 1410 \text{ min} = 23 \text{時間} 30 \text{分} $$

答え

わずか 23時間30分 で、観測可能な宇宙は直方体で満たされます。

式

1. 物理定数の定義
光速: $c = 299,792,458 \text{ m/s}$
万有引力定数: $G \approx 6.67430 \times 10^{-11} \text{ m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2}$
円周率: $\pi \approx 3.1415926535$

2. 対象物のパラメータ定義
直方体の密度(一般的な岩石と仮定): $\rho = 2700 \text{ kg/m}^3$
直方体1個の体積: $V_{cuboid} = 7.2 \times 10^{-5} \text{ m}^3$

3. ブラックホール化の条件式
$n$回分裂後の集合体を一様な球体と仮定したときの半径 $r(n)$ が、その質量 $M(n)$ におけるシュワルツシルト半径 $R_s(n)$ 以下になることが条件となる。 $$ r(n) \le R_s(n) $$ 4. 半径 $r(n)$ の導出
$n$回分裂後の総体積 $V_{total}(n) = 2^n \times V_{cuboid}$
球の体積の公式 $V_{total} = \frac{4}{3}\pi r^3$ を $r$ について解くと $r = (\frac{3V_{total}}{4\pi})^{1/3}$ となるため、 $$ r(n) = \left( \frac{3 V_{total}(n)}{4\pi} \right)^{1/3} = \left( \frac{3 \cdot 2^n V_{cuboid}}{4\pi} \right)^{1/3} $$ 5. シュワルツシルト半径 $R_s(n)$ の導出
$n$回分裂後の総質量 $M(n) = \rho \times V_{total}(n) = \rho \cdot 2^n V_{cuboid}$
シュワルツシルト半径の公式 $R_s = \frac{2GM}{c^2}$ に代入する。 $$ R_s(n) = \frac{2GM(n)}{c^2} = \frac{2G(\rho \cdot 2^n V_{cuboid})}{c^2} $$ 6. 不等式の立式と変形
条件式 $r(n) \le R_s(n)$ に導出した式を代入する。 $$ \left( \frac{3 \cdot 2^n V_{cuboid}}{4\pi} \right)^{1/3} \le \frac{2G\rho \cdot 2^n V_{cuboid}}{c^2} $$ 両辺を3乗して根号を外す。 $$ \frac{3 \cdot 2^n V_{cuboid}}{4\pi} \le \left( \frac{2G\rho \cdot 2^n V_{cuboid}}{c^2} \right)^3 = \frac{8G^3\rho^3 (2^n)^3 V_{cuboid}^3}{c^6} $$ 両辺を正の値である $2^n V_{cuboid}$ で割り、不等式を簡略化する。 $$ \frac{3}{4\pi} \le \frac{8G^3\rho^3 (2^n)^2 V_{cuboid}^2}{c^6} $$ この不等式を $(2^n)^2$ について解く。 $$ (2^n)^2 \ge \frac{3 c^6}{32\pi G^3 \rho^3 V_{cuboid}^2} $$ 7. 右辺の定数項の計算
まず、分子 $3c^6$ を計算する:
$3c^6 = 3 \times (299,792,458)^6 = 3 \times (2.99792458 \times 10^8)^6 = 3 \times (2.99792458^6 \times 10^{48}) \approx 3 \times 727.73 \times 10^{48} \approx 2.1832 \times 10^{51}$
次に、分母 $32\pi G^3 \rho^3 V_{cuboid}^2$ の各項を計算する:
$G^3 \approx (6.67430 \times 10^{-11})^3 = (6.67430)^3 \times (10^{-11})^3 \approx 297.17 \times 10^{-33} = 2.9717 \times 10^{-31}$
$\rho^3 = (2700)^3 = 19,683,000,000 = 1.9683 \times 10^{10}$
$V_{cuboid}^2 = (7.2 \times 10^{-5})^2 = 51.84 \times 10^{-10} = 5.184 \times 10^{-9}$
$32\pi \approx 32 \times 3.14159265 = 100.530965$
分母全体を掛け合わせる:
$100.530965 \times (2.9717 \times 10^{-31}) \times (1.9683 \times 10^{10}) \times (5.184 \times 10^{-9}) \approx 3.049 \times 10^{-23}$
最後に、分子を分母で割る:
$\frac{2.1832 \times 10^{51}}{3.049 \times 10^{-23}} \approx 7.1604 \times 10^{73}$

8. 必要分裂回数の計算
したがって、解くべき不等式は $(2^n)^2 \ge 7.1604 \times 10^{73}$ となる。 $$ 2^{2n} \ge 7.1604 \times 10^{73} $$ 両辺の自然対数（$\ln$）をとる。 $$ \ln(2^{2n}) \ge \ln(7.1604 \times 10^{73}) $$ $$ 2n \ln(2) \ge \ln(7.1604) + \ln(10^{73}) $$ $$ 2n \ln(2) \ge \ln(7.1604) + 73\ln(10) $$ $n$ について解く。 $$ n \ge \frac{\ln(7.1604) + 73\ln(10)}{2\ln(2)} $$ 対数の近似値 $\ln(2) \approx 0.693147$, $\ln(7.1604) \approx 1.9686$, $\ln(10) \approx 2.302585$ を代入する。 $$ n \ge \frac{1.9686 + 73 \times 2.302585}{2 \times 0.693147} \approx \frac{1.9686 + 168.0887}{1.386294} \approx \frac{170.0573}{1.386294} \approx 122.6725 $$ これを満たす最小の整数は $n=123$回。

9. 所要時間の計算

$$ T = n \times t_{split} = 123 \times 5 \text{ min} = 615 \text{ min} $$ $$ 615 \text{ min} = 10 \text{時間} 15 \text{分} $$

答え

約 10時間15分 で直方体惑星は自らの重力に耐えきれず、ブラックホール化する可能性があります。